Tema 5 - Funciones Reales de una Variable Real

Definición Formal de Derivada

Dada una función $f: (a, b) \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ y un punto $x_0 \in (a, b)$, decimos que $f$ es derivable en $x_0$ si existe y es finito el siguiente límite:

$$f'(x_0) = \lim_{{x \to x_0}} \frac{{f(x) - f(x_0)}}{{x - x_0}}$$

• Este límite, si existe, se llama la derivada de $f$ en $x_0$ y se denota por $f'(x_0)$.

Tasa de variación media Cociente Incremental

La expresión $\frac{{f(x) - f(x_0)}}{{x - x_0}}$ se conoce como la tasa de variación media (TVM) o el cociente incremental de la función $f$ en el intervalo $[x_0, x]$.

Intuitivamente se puede decir que la tasa de variación media mide la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(x_0, f(x_0))$ y $(x, f(x))$ en la gráfica de la función.

Interpretaciones de la Derivada

Interpretación Geométrica

La derivada $f'(x_0)$ representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $y = f(x)$ en el punto $(x_0, f(x_0))$. A medida que $x$ se acerca a $x_0$, la recta secante se aproxima a la recta tangente y el cociente incremental se acerca a la derivada.

Interpretación Física

Si $s(t)$ describe la posición de un objeto en función del tiempo $t$, entonces la derivada $s'(t)$ representa la velocidad instantánea del objeto en el instante $t$. La tasa de variación media, en este caso, sería la velocidad media en un intervalo de tiempo.

Derivadas Laterales

A veces, el límite del cociente incremental existe solo cuando $x$ se aproxima a $x_0$ desde un lado específico: por la derecha ($x > x_0$) o por la izquierda ($x < x_0$). En estos casos, se habla de derivada por la derecha ($f'(x_0^+)$) o derivada por la izquierda ($f'(x_0^-)$).

Una función es derivable en un punto $x_0$ si y solo si estas derivadas laterales existen y son iguales, en cuyo caso coinciden con la derivada común $f'(x_0)$ en ese punto.

Propiedades Fundamentales de las Funciones Derivables

Una propiedad clave de las funciones derivables es que la derivabilidad en un punto $x_0$ implica que la función es continua en ese punto. Sin embargo, lo contrario no siempre se cumple: una función puede ser continua en un punto sin ser derivable en él, como en el caso de la función valor absoluto $f(x) = |x|$, que es continua en $x = 0$ pero no derivable allí.

Además, existen varias reglas que simplifican el cálculo de derivadas cuando se trabaja con combinaciones de funciones básicas:

• Para la suma y resta de funciones, $(f \pm g)'(x_0) = f'(x_0) \pm g'(x_0)$.
• Para el producto de funciones, $(f \cdot g)'(x_0) = f'(x_0) · g(x_0) + f(x_0) · g'(x_0)$.
• Para el cociente de funciones, $\left( \frac{f}{g} \right)'(x_0) = \frac{{f'(x_0) · g(x_0) - f(x_0) · g'(x_0)}}{{[g(x_0)]^2}}$, siempre que $g(x_0) \neq 0$.
• Al multiplicar una función por una constante $\lambda$, su derivada es $(\lambda · f)'(x_0) = \lambda · f'(x_0)$.

Otra regla fundamental es la regla de la cadena, que permite derivar funciones compuestas. Si $f$ es derivable en $x_0$ y $g$ es derivable en $f(x_0)$, entonces $(g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0)) · f'(x_0)$. Esta regla indica que la derivada de la función compuesta es el producto de la derivada de la función exterior evaluada en la interior, por la derivada de la función interior.

Aplicaciones Claves de la Derivada

La derivada tiene múltiples aplicaciones prácticas, entre las que destacan:

• Regla de L’Hôpital: útil para resolver límites indeterminados de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Según esta regla, si el límite del cociente de las derivadas existe, entonces el límite del cociente de las funciones originales también existe y coincide con él.
• Determinación de máximos y mínimos relativos: Un punto $x_0$ es un máximo relativo si $f(x) \leq f(x_0)$ en un entorno de $x_0$, y un mínimo relativo si $f(x) \geq f(x_0)$ en un entorno de $x_0$. Además, si una función es derivable en $x_0$ y tiene un extremo relativo en ese punto, entonces $f'(x_0) = 0$. Esta condición es necesaria, pero no suficiente.
• Teorema de Rolle: establece que si una función es continua en $[a, b]$, derivable en $(a, b)$, y $f(a) = f(b)$, entonces existe un punto $c$ en el intervalo donde $f'(c) = 0$.
• Teorema del Valor Medio: garantiza que si una función es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, entonces existe un punto $c$ en el intervalo donde $f'(c) = \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}$. Este teorema asegura la existencia de un punto donde la tangente a la curva tiene la misma pendiente que la secante entre los extremos del intervalo.
• Concavidad y puntos de inflexión: La segunda derivada, $f''$, permite determinar la concavidad de una función. Si $f''(x) > 0$ en un intervalo, la función es cóncava hacia arriba en ese intervalo, mientras que si $f''(x) < 0$, es cóncava hacia abajo. Un cambio de signo en $f''$ indica un punto de inflexión.

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