Tema 3 - Series de números reales

Introducción

Una serie es una “suma infinita” de términos de una sucesión. Formalmente, una serie se escribe como:

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots$$

Por ejemplo:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = 1$$

Para estudiar rigurosamente el comportamiento de una serie, se define la sucesión de sumas parciales:

$$s_n = \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \dots + a_n$$

La convergencia de la serie se basa en la convergencia de esta sucesión.

Definición

Una serie $\sum a_n$ es convergente si la sucesión de sumas parciales $\{s_n\}$ es convergente. Su límite se llama la suma de la serie:

$$\sum_{n=1}^\infty a_n = \lim_{n \to \infty} s_n$$

Si $\{s_n\} \to \pm \infty$, la serie es divergente.

Propiedades

1. Si se eliminan un número finito de términos, el carácter (convergencia/divergencia) de la serie no cambia.
2. Si $\sum a_n$ converge, entonces: $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ (La condición necesaria de convergencia).

Nota: El recíproco no es cierto en general. Por ejemplo, la serie armónica $\sum \frac{1}{n}$ cumple que $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, pero es divergente.

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Suma de algunos tipos especiales de series

Series geométricas

Una serie geométrica tiene la forma:

$$\sum_{n=1}^\infty r^n, \; |r| < 1$$

La sucesión de sumas parciales es:

$s_n = r + r^2 + \dots + r^n = \frac{r(1 - r^n)}{1 - r}, \; |r| < 1$

Tomando el límite cuando $n \to \infty$:

$$\sum_{n=1}^\infty r^n = \frac{r}{1 - r}, \; |r| < 1$$

Ejemplo

Calcular la fracción irreducible correspondiente al número decimal periódico $0.\overline{9}$:

$0.\overline{9} = \sum_{n=1}^\infty \frac{9}{10^n} = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \dots = \frac{9}{1 - \frac{1}{10}} = 1$

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Series de términos positivos

Definición

Una serie $\sum a_n$ es de términos positivos si $a_n \geq 0, \; \forall n \in \mathbb{N}$. Estas series tienen propiedades especiales:

1. Si $\sum a_n$ converge, su sucesión de sumas parciales $\{s_n\}$ está acotada.
2. Si $\{s_n\}$ es creciente y no está acotada, entonces $\sum a_n$ diverge hacia $+\infty$.

Criterios de convergencia

1. Criterio de comparación: Sean $\sum a_n$ y $\sum b_n$ series de términos positivos. Si existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que:

   $0 \leq a_n \leq b_n, \; \forall n \geq n_0$

   Entonces:

   • Si $\sum b_n$ converge, también lo hace $\sum a_n$.
   • Si $\sum a_n$ diverge, también lo hace $\sum b_n$.

2. Criterio del cociente: Sea $\sum a_n$ una serie de términos positivos. Si:

   $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$

   Entonces:

   • Si $L < 1$, la serie converge.
   • Si $L > 1$, la serie diverge.
   • Si $L = 1$, el criterio no decide.

3. Criterio de la raíz: Sea $\sum a_n$ una serie de términos positivos. Si:

   $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$

   Entonces:

   • Si $L < 1$, la serie converge.
   • Si $L > 1$, la serie diverge.
   • Si $L = 1$, el criterio no decide.