Tema 2 - Sucesiones de números reales

Introducción

Una sucesión de números reales es una función que asigna a cada número natural un número real. Formalmente:

$$f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}, \; n \mapsto f(n) = x_n$$

Esto se denota habitualmente como $\{x_n\}$ o $\{x_1, x_2, x_3, \dots\}$, donde $x_n$ representa el término enésimo de la sucesión. Los términos son los valores generados por la función para cada $n \in \mathbb{N}$.

Ejemplos de sucesiones

1. $\{\frac{1}{n}\} = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots\}$
2. $\{(-1)^n\} = \{-1, 1, -1, 1, \dots\}$
3. $\{n^2\} = \{1, 4, 9, 16, \dots\}$
4. La sucesión de números primos $\{p_n\} = \{2, 3, 5, 7, 11, \dots\}$.

No todas las sucesiones tienen una fórmula explícita, como ocurre con los números primos, pero aún pueden ser útiles y estudiadas.

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Límite de una sucesión

Definición

Se dice que una sucesión $\{x_n\}$ converge a un valor $x \in \mathbb{R}$ si, para cualquier $\varepsilon > 0$, existe un índice natural $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que para todos $n \geq n_0$:

$$|x_n - x| < \varepsilon$$

Esto se denota como $\lim_{n \to \infty} x_n = x$ o $\{x_n\} \to x$. Intuitivamente, esto significa que los términos de la sucesión se acercan arbitrariamente al valor $x$ conforme $n$ crece.

Si $\{x_n\}$ tiene un límite, se dice que es convergente; de lo contrario, es divergente.

Propiedades

1. Si $\{x_n\} \to x$, entonces $\{x_n - x\} \to 0$.
2. Si $\{x_n\} \to 0$, entonces $\{|x_n|\} \to 0$.
3. Si $\{x_n\}$ es convergente, cualquier subsucesión $\{x_{n_k}\}$ también converge al mismo límite.

Teorema de unicidad del límite

El límite de una sucesión, si existe, es único. Es decir, si $\{x_n\} \to x$ y $\{x_n\} \to y$, entonces $x = y$.

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Acotación de sucesiones

Definiciones

1. Acotación superior: $\{x_n\}$ está acotada superiormente si existe $K \in \mathbb{R}$ tal que: $x_n \leq K, \; \forall n \in \mathbb{N}$
2. Acotación inferior: $\{x_n\}$ está acotada inferiormente si existe $k \in \mathbb{R}$ tal que: $x_n \geq k, \; \forall n \in \mathbb{N}$
3. Acotada: $\{x_n\}$ está acotada si existe $k, K \in \mathbb{R}$ tales que: $k \leq x_n \leq K, \; \forall n \in \mathbb{N}$

Teorema

Toda sucesión convergente está acotada. Sin embargo, no todas las sucesiones acotadas son convergentes. Por ejemplo, $\{(-1)^n\}$ es acotada pero no convergente.

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Operaciones con límites

Si $\{x_n\} \to x$ y $\{y_n\} \to y$, entonces:

1. $\{x_n + y_n\} \to x + y$.
2. $\{x_n \cdot y_n\} \to x \cdot y$.
3. Si $y \neq 0$, $\{x_n / y_n\} \to x / y$.
4. (Regla del sandwich) Si $x_n \leq z_n \leq y_n$ y $\{x_n\}, \{y_n\} \to l$, entonces $\{z_n\} \to l$.

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Sucesiones especiales

El número $e$

La sucesión:

$$x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$$

Es monótona creciente y acotada, por lo que converge al número $e$:

$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.718$$

Sucesiones recurrentes

Una sucesión $\{x_n\}$ es recurrente si cada término se define en función de los anteriores. Por ejemplo, una sucesión de orden $p$ cumple:

$$x_{n+p} = g(x_n, x_{n+1}, \dots, x_{n+p-1}), \; n \geq 1$$

Para determinar sus términos, se necesitan $p$ valores iniciales. Muchas técnicas numéricas emplean sucesiones recurrentes para aproximar soluciones.

Ejemplo

Demostrar que la sucesión definida como:

$x_1 = 2, \; x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$

Es convergente y calcular su límite.